Concept(s)-clé(s) et théorie

PREMIER CRITÈRE D'INVERSIBILITÉ

Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ est inversible si et seulement si le système homogène $Ax=0$ possède une solution unique, à savoir, la solution triviale.

COROLLAIRE DU PREMIER CRITÈRE D'INVERSIBILITÉ

Soit $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ alors les deux affirmations suivantes sont vérifiées.

1. La matrice $A$ est inversible si et seulement s'il existe $B \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ telle que $BA = I_n$.
2. La matrice $A$ est inversible si et seulement s'il existe $C \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ telle que $AC = I_n$.

RAPPEL: ALGORITHME POUR TROUVER L'INVERSE D'UNE MATRICE DONNÉE

Soit $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ une matrice carrée. Afin de déterminer si $A$ est inversible et de calculer son inverse (lorsque c'est possible), on procède comme suit :

1. Ecrire les matrices $A$ et $I_n$ l'une à côté de l'autre, formant ainsi une nouvelle matrice de taille $n \times 2n$;
2. Faire des opérations élémentaires sur les lignes de cette nouvelle matrice, afin de réduire le côté gauche à $I_n$;
3. Si on y arrive, alors $A$ est inversible et son inverse $A^{-1}$ est donnée par la matrice à droite.

import Librairie.AL_Fct as al
import Corrections.corrections as corrections
from ipywidgets import interact_manual
import plotly as py
import plotly.graph_objs as go
from ipywidgets import interactive, HBox, VBox, widgets, interact, FloatSlider
import numpy as np

EXERCICE 1

Considérez le système linéaire quelconque $Ax=b$ avec $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ et $b \in \mathcal{M}_{n \times 1}(\mathbb{R})$; cochez les déclarations suivantes qui pourraient être vraies pour certaines valeurs de $A$ et $b$.

corrections.Ex1Chapitre2_6_7()

EXERCICE 2

Cochez, parmi les matrices suivantes, celles qui sont inversibles. \begin{equation} A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 0 & 6 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \qquad A_2 = \begin{pmatrix} 3 & -7 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ -5 & 35/3 & 0 \end{pmatrix} \qquad A_3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\ 2 & -5 & 4\\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} \end{equation}

corrections.Ex2Chapitre2_6_7()

Vous pouvez vous aider à déterminer si les matrices suivantes sont inversibles ou non en exécutant les cellules suivantes et en calculant manuellement leurs inverses (éventuelles)

#Entrez la matrice A
A=[[2,0,1], [0,6,4], [2,2,1]]
I=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]

print('Vous allez échelonner la matrice augmenteé avec la matrice identité')
al.printA(A,I)
[i,j,r,alpha]= al.manualEch(A,I)
m=np.concatenate((A,I), axis=1)
MatriceList=[A]
RhSList=[I]
print('\033[1mExecutez la ligne suivante pour effectuer l\'opération choisie \033[0m')

Vous allez échelonner la matrice augmenteé avec la matrice identité

$\left(\begin{array}{ccc| cccc} 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 6 & 4 & 0 & 1 & 0 \\2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Régler les paramètres et évaluer la cellule suivante
Répéter cela jusqu'à obtenir une forme échelonnée réduite

Executez la ligne suivante pour effectuer l'opération choisie 

m=al.echelonnage(i,j,r,alpha,A,m,MatriceList,RhSList)

$\left(\begin{array}{ccc| cccc} 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 6 & 4 & 0 & 1 & 0 \\2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\quad \sim \quad\left(\begin{array}{ccc| cccc} 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 6 & 4 & 0 & 1 & 0 \\2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

EXERCICE 3

Considéz le système linéaire générique $Ax = b$, avec: \begin{equation} A = \begin{pmatrix} 2 & -\alpha\\ \beta & -4 \\ \end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ \end{pmatrix} \end{equation} Identifiez les valeurs des paramètres $\alpha$ et $\beta$ pour lesquels $A$ n'est pas inversible et cochez les déclarations suivantes qui sont correctes.

corrections.Ex3Chapitre2_6_7()

AIDE: vous pouvez exécuter la cellule interactive suivante pour mieux visualiser le système paramétré

corrections.graphe_Ex3Chapitre2_6_7()

EXERCICE 4

Considérez les matrices suivantes: \begin{equation} A = \begin{pmatrix} 0.5 & a & 1\\ 0 & 2 & -1\\ -2 & 1 & b \end{pmatrix}; \qquad B = \begin{pmatrix} -6 & -2 & -2\\ 4 & 2 & 1\\ 8 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{equation}

Trouvez les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour lesquels $A$ et $B$ sont l'inverse l'une de l'autre.

corrections.Ex4Chapitre2_6_7()

Insérez les valeurs de a et b

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